Doubler la puissance c’est une curiosité mathématique liée à la légende de l’invention des échecs, mais c’est aussi bien plus : cela nous aide, par exemple, à comprendre à quel point la croissance des bactéries ou de la technologie est incroyablement rapide.
La question qui sous-tend tout cela est la suivante : si nous prenons un échiquier et plaçons un grain de blé sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, huit sur la quatrième et ainsi de suite, doubler de temps en temps les grains de blé jusqu’au soixante-quatrième carré du plateau, combien de grains de blé aurons-nous ?
Alors d’emblée, on pourrait penser qu’il n’y en a pas beaucoup. C’est certainement ce que pensait le roi Shirham lorsque le grand vizir lui demanda une telle quantité de céréales. Sissa ben Dhair pour l’invention des échecs et n’a pas hésité à accepter.
En vérité, derrière un calcul aussi banal, se cache quelque chose taille énorme, pas très loin du nombre d’étoiles estimé dans l’univers observable.
L’histoire du pouvoir du doublement : la légende de l’échiquier Sissa
L’un des écrits les plus célèbres relatant l’histoire légendaire de la naissance des échecs remonte à 1256 grâce à l’érudit et historien musulman Ibn Khallikan. L’histoire raconte l’histoire du roi indien Shirham du 6ème siècle après JC qui, pour remercier le grand vizir Sissa ben Dhair pour l’invention des échecs lui a demandé d’en choisir un récompense n’importe lequel, étant prêt à payer généreusement pour cela.
Sissa répondit avec gratitude qu’il aimerait du blé, mesuré comme suit : un grain sur la première case de l’échiquier, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, huit grains sur la quatrième et ainsi de suite, doubler le nombre de grain de case en case jusqu’à la soixante-quatrième case du plateau.
Le roi était incrédule face à un choix apparement aussi modeste, mais uniquement parce qu’il ne connaissait pas le pouvoir du double. Il s’agissait en fait de 18.446.744.073.709.551.615 de grains, soit plus de 18 milliards de milliards!
Nous parlons d’une quantité si importante qu’elle peut couvrir toute la surface du globe.
Cette simple légende a contribué au fil des siècles à montrer à quel point une croissance exponentielle peut être sous-estimée.
Le pouvoir du doublement et son impact
Revenant à l’exemple de Échiquier Sissa, essayons de comprendre comment une croissance exponentielle comme celle décrite peut avoir un impact. Selon le raisonnement de Sissa, en huitième case nous trouvons 128 grains au 16ème, on en trouve plus de 32 mille, à la 24ème case 8 millions et à la 32ème jusqu’à 2 milliards! A une dizaine de carrés de distance, nous sommes passés de centaines à des milliards de grains.
Ajouter toutes ces quantités, on obtient comme déjà dit plus de 18 milliards de milliards. Un tel calcul semble monstrueux, mais il peut facilement être résolu comme une série géométrique de raison 2 :
Une arnaque comme celle-ci peut sembler hors de propos, mais ce n’est pas du tout le cas. Comprendre le doublement nous aide, par exemple, à comprendre à quelle vitesse les bactéries se développent. Ces micro-organismes en effet ils se répliquent par fission binaire, c’est-à-dire « diviser » en deux.
En supposant que, dans une condition donnée, une bactérie immortelle se réplique une fois par minute, cela signifie que si nous commençons avec une seule bactérie à la minute 0, après 1 minute nous en aurons 2, après 2 minutes nous en aurons 4, après 3 il y aura nous aurons 8, après 4 minutes nous aurons seize et après seulement 24 minutes nous nous retrouverons avec 8 millions de bactéries… et après 64 minutes avec 18 milliards de milliards de bactéries !
La technologie se développe à une vitesse exponentielle
Les exemples ci-dessus peuvent vous aider à comprendre l’incroyable pouvoir du doublement et croissance exponentielle en général. Dans le 1965 l’Américain Gordon Moore, co-fondateur d’Intel, a observé que le le nombre de transistors sur une puce électronique double tous les 18 mois. Avec le La loi de Moore son créateur a voulu affirmer que le progrès technologique grandit infiniment vite et bien plus que de façon linéaire.
Les déclarations de Moore ont été reprises par plusieurs chercheurs et en 2001, l’informaticien Ray Kurzweil – dans son essai La loi des retours accélérés – il en a étendu le sens. Kurzweil émet l’hypothèse de l’arrivée d’un singularité technologique c’est-à-dire un moment historique au cours duquel le croissance exponentielle de la technologie atteindra une valeur « infini » ce qui veut dire que ça viendra au-delà de la capacité de comprendre et prédire des êtres humains.
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